
\documentclass[main.tex]{subfiles}

\begin{document}

\section{基本初等复合函数的积分}

虽然基本初等函数的积分很简单，基本初等函数经过四则运算再积分也可以写出初等表达式，但是基本初等函数的复合函数的积分可能就不存在初等表达式。以下列出几个，重点在于这些函数的定积分的值。
\begin{itemize}
    \item[(1)] 菲涅尔积分(Fresnel integral)
    \[ \trm{S}(x) = \int_{0}^{x} \sin(t^2)\trm{d} t \quad \mbox{和} \quad \trm{C}(x) = \int_{0}^{x} \cos(t^2)\trm{d} t\]
% \pgfdeclarelayer{nodelayer}
% \pgfdeclarelayer{edgelayer}
% \pgfsetlayers{nodelayer, edgelayer}
% \begin{center}
% \begin{tikzpicture}
% 	\begin{pgfonlayer}{nodelayer}
% 		\node (0) at (0, 0) {};
% 		\node (1) at (5, 0) {};
% 		\node (2) at (4, 3) {};
% 	\end{pgfonlayer}
% 	\begin{pgfonlayer}{edgelayer}
% 		\draw (0.center) to (2.center);
% 		\draw (0.center) to (1.center);
% 		\draw [bend right] (1.center) to (2.center);
% 	\end{pgfonlayer}
% \end{tikzpicture}
% \end{center}
    \item[(2)] 三角函数和双曲函数积分\\
% \begin{wrapfigure}{r}{4cm}%靠文字内容的左侧
%     \centering
%     \includegraphics[width=0.3\textwidth]{si.eps}
%     \caption{\footnotesize 正弦积分}
% \end{wrapfigure}
    \begin{equation*}
        \begin{array}{ll}
            \displaystyle{\trm{sinc}(x) = \frac{\sin(x)}{x}} &
            \displaystyle{\trm{Si}(x) = \int_{0}^{x} \trm{sinc}(t) \trm{d}t}  \\
            \displaystyle{\trm{cosc}(x) = \frac{\cos(x)}{x}} &
            \displaystyle{\trm{Ci}(x) = \int_{0}^{x} \trm{cosc}(t) \trm{d}t}  \\
            \displaystyle{\trm{sinhc}(x) = \frac{\sinh(x)}{x}} &
            \displaystyle{\trm{Shi}(x) = \int_{0}^{x} \trm{sinhc}(t) \trm{d}t}  \\
            \displaystyle{\trm{coshc}(x) = \frac{\cos(x)}{x}} &
            \displaystyle{\trm{Chi}(x) = \int_{0}^{x} \trm{coshc}(t) \trm{d}t}  \\
        \end{array}
    \end{equation*}
% \begin{figure}[H]
%    \centering
%    \subfigure[]{
%        \label{fig:a} %% label for first subfigure
%        \includegraphics[width=0.32\textwidth]{sinc.eps}
%    }
%    \subfigure[]{
%        \label{fig:b} %% label for secondsubfigure
%        \includegraphics[width=0.32\textwidth]{cosc.eps}
%    }
% \end{figure}
% \begin{figure}[H]
%     \centering
%    \subfigure[]{
%        \label{fig:c} %% label for secondsubfigure
%        \includegraphics[width=0.32\textwidth]{sinhc.eps}
%    }
%    \subfigure[]{
%        \label{fig:d} %% label for secondsubfigure
%        \includegraphics[width=0.32\textwidth]{coshc.eps}
%    }
%    \caption{composited function}
%    \label{figb} %% label for entire figure
% \end{figure}
    \item[(3)] 指数积分(exponentiation integral)
    \[ \trm{Ei}(x) = \int_{0}^{x} \frac{e^{-t}}{t} \trm{d}t \]
    \item[(4)] 对数积分(logarithm integral)
    \[ \trm{li}(x) = \int_{0}^{x} \frac{\ln(t)}{t} \trm{d}t \]
\end{itemize}

\section{柱函数（贝塞尔函数）系}

\subsection{为什么会有这个函数？}

贝塞尔函数是贝塞尔方程的解，贝塞尔方程指的是
\[x^2y″ + xy′ + (x^2-\alpha^2)y = 0\]
这个方程常常伴随着柱坐标系出现，以下列举两种情况.

\begin{itemize}
    \item[(1)] 拉普拉斯方程为\(\nabla^2 u =0\)，根据柱坐标系与直角坐标系的关系：
    \[\rho = \sqrt{x^2+y^2} \qquad \theta = \arg(x+iy) \qquad z = z\]
    在三维柱坐标系下展开得到
    \[\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho}\left(\rho\frac{\partial u}{\partial \rho}\right) + \frac{1}{\rho^2}\frac{\partial^2 u}{\partial \theta^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = 0\]
    分离变量，令\(u(\rho,\theta,z)=f(\rho)g(\theta)h(z)\)，回代并在等号两边同时乘以\(\displaystyle{\frac{r^2}{f(\rho)g(\theta)h(z)}}\)，得到
    \[\frac{\rho}{f(\rho)}\frac{\partial}{\partial \rho}\left(\rho f'(\rho)\right) + \frac{g''(\theta)}{g(\theta)} + \rho^2\frac{h''(z)}{h(z)} = 0\]
    左边是三个单项式相加的形式，其中参数\(\theta\)只与第二个单项式\(\displaystyle{\frac{g''(\theta)}{g(\theta)}}\)有关，然而右边为常数\(0\)，这说明\(\displaystyle{\frac{g''(\theta)}{g(\theta)}}\)必须是一个常数，否则当\(\theta\)发生变化后，左边的值就会发生变化，而这种变化是与\(\theta\)无关的参数\(\rho,z\)所无法抵消的. 所以设\(\displaystyle{\frac{g''(\theta)}{g(\theta)}} = -n^2\)，回代的同时两边同除\(r^2\)，得到
    \[\frac{1}{\rho f(\rho)}\frac{\partial}{\partial \rho}\left(\rho f'(\rho)\right) -\frac{n^2}{r^2} + \frac{h''(z)}{h(z)} = 0\]
    对\(\displaystyle{\frac{h''(z)}{h(z)}}\)使用相同的手法，令其为\(k_z^2\)，回代的同时两边再同乘\(f(\rho)\)，得到
    \[\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho}\left(\rho f'(\rho)\right) + \left(k_z^2-\frac{n^2}{\rho^2}\right)f(\rho) = 0\]
    两边同乘\(r^2\)整理得到
    \[\rho^2f''(\rho)+rf'(\rho)+[(k_z\rho)^2-n^2]f(\rho) = 0\]
    这就得到了贝塞尔方程.
    \item[(2)] 热传导方程为\(\displaystyle{\frac{\partial u}{\partial t} = a^2\nabla^2 u}\)，在二维
\end{itemize}

\begin{definition}{贝塞尔函数}
    第一类贝塞尔函数
    \[J_{\alpha}(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n!\Gamma (n+\alpha +1)}{\left({\frac {x}{2}}\right)}^{2n+\alpha}\]
    第二类贝塞尔函数
    \[Y_{\alpha}(x) = \frac{J_{\alpha}(x)\cos(\alpha\pi)-J_{-\alpha}(x)}{\sin(\alpha\pi)}\]
    汉克尔函数
    \[
        \begin{aligned}
            H_{\alpha }^{(1)}(x) &= J_{\alpha }(x)+iY_{\alpha }(x) \\ 
            H_{\alpha}^{(2)}(x) &= J_{\alpha}(x)-iY_{\alpha}(x) 
        \end{aligned}
    \]
    修正贝塞尔函数
    \[
        \begin{aligned}
            I_{\alpha }(x) &= i^{-\alpha }J_{\alpha }(ix) \\
            K_{\alpha }(x) &= \frac {\pi }{2}{\frac {I_{-\alpha }(x)-I_{\alpha }(x)}{\sin \alpha \pi }} 
        \end{aligned}
    \]
    球贝塞尔函数
    \[
        \begin{aligned}
            j_{n}(x) &= \sqrt{\frac {\pi }{2x}}J_{n+{\frac {1}{2}}}(x) \\
            y_{n}(x) &= \sqrt{\frac {\pi }{2x}}Y_{n+{\frac {1}{2}}}(x)
        \end{aligned}
    \]
    球汉克尔函数
    \[
        \begin{aligned}
            h_{n}^{(1)}(x) &= j_{n}(x)+iy_{n}(x) \\
            h_{n}^{(2)}(x) &= j_{n}(x)-iy_{n}(x)
        \end{aligned}
    \]
\end{definition}

\begin{proposition}{某个算不出来的积分}
    利用修正贝塞尔函数可以得到
    \[\int e^{\cos(x)}\trm{d}x = \int e^{\sin(x)}\trm{d}x = \int e^{\cos(x)}\trm{d}t=I_0(1)x+2\sum_{n=1}^{\infty}I_n(1)\frac{\sin(nx)}{n} + C\]
\end{proposition}

\textit{
    令\(u=x-\dfrac{\pi}{2}\)，则根据第二类换元法
    \[\int e^{\sin(x)}\trm{d}x = \int e^{\sin(u+\pi/2)}\trm{d}\left(u+\frac{\pi}{2}\right)=\int e^{\cos(u)}\trm{d}u\]
    接着对\(e^{\cos(x)}\)作三角函数项的傅里叶展开
    \[e^{\cos(x)}=\frac{1}{2}a_0+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\right)\]
    代入修正贝塞尔函数\(\displaystyle{I_n(z)=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}e^{z\cos(x)}\cos(nx)\trm{d}x}\)
    \[
        \begin{aligned}
            a_n&=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{\cos(x)}\cos(nx)\trm{d}x=2I_n(1) \\
            b_n&=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{\cos(x)}\sin(nx)\trm{d}x=0
        \end{aligned}
    \]
    于是
    \[e^{\cos(x)}=I_0(1)+2\sum_{n=1}^{\infty}I_n(1)\cos(nx)\]
    逐项积分就是
    \[\int e^{\cos(x)}\trm{d}t=I_0(1)x+2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{I_n(1)}{n}\sin(nx) + C\]
}

\section{勒让德多项式（球多项式）}

\subsection{利用正交性导出}

泰勒展开告诉我们，\(\{x^n\}_{n=0}^{\infty}\)是\(C(\mathbb{R})\)的一个完备基底，但是这个基底却不是正交的，甚至在任意一个子集上都不正交，理由很简单，求内积时\(\langle x^n, x^n \rangle\)和\(\langle x^{n-1}, x^{n+1} \rangle\)的被积函数是相同的，而如果正交的话前者应为非零，后者应为零，矛盾. 于是我们自然就会思考将它们正交化，做出一组完备的正交基底.
\begin{reference}
    回顾线性代数的知识，当向量\(\{\vec{\alpha}_k\}_{k=1}^{n}\)线性无关时，它们可以张成\(n\)维线性空间，而该线性空间的一组完备正交基底\(\{\vec{\beta}_k\}_{k=1}^{n}\)可以根据\(\{\vec{\alpha}_k\}_{k=1}^{n}\)利用格拉姆-施密特正交化构造出来：
    \[
        \vec{\beta}_k = 
        \left\{
            \begin{aligned}
                & \vec{\alpha}_k & k=1 \\
                & \vec{\alpha}_k - \sum_{m=0}^{k-1}\frac{\langle \vec{\alpha}_k, \vec{\beta}_m \rangle}{\langle \vec{\beta}_m, \vec{\beta}_m \rangle}\vec{\beta}_{m} & k > 1
            \end{aligned}
        \right.
    \]
\end{reference}

接下来要做的事是选取一个好的函数空间，\(C(\mathbb{R})\)并不是一个好的选择，因为\(\lambda x.1\)在\(\mathbb(R)\)上的积分是无穷. 所以我们选择了\(C([-1,1])\). 遵循格拉姆-施密特正交化方法，在区间\([-1,1]\)上，有：
\begin{align*}
    p_0(x) &= 1 \\
    p_1(x) &= x-\frac{\langle x, 1 \rangle}{\langle 1,1 \rangle} \\
    &= x - \frac{\int_{-1}^{1} x \trm{d}x}{\int_{-1}^{1} 1\trm{d}x} = x \\
    p_2(x) &= x^2 - \frac{\langle x^2, 1 \rangle}{\langle 1,1 \rangle} - \frac{\langle x^2, x \rangle}{\langle x,x \rangle}x \\
    &= x^2 - \frac{\int_{-1}^{1} x^2 \trm{d}x}{\int_{-1}^{1} 1\trm{d}x} - \frac{\int_{-1}^{1} x^3 \trm{d}x}{\int_{-1}^{1} x^2 \trm{d}x}x = x^2-\frac{1}{3} \\
    p_3(x) &= x^3 - \frac{\langle x^3, 1 \rangle}{\langle 1,1 \rangle} - \frac{\langle x^3, x \rangle}{\langle x,x \rangle}x - \frac{\langle x^3, x^2-\frac{1}{3} \rangle}{\langle x^2-\frac{1}{3},x^2-\frac{1}{3} \rangle}(x^2-\frac{1}{3}) \\
    &= x^3 - \frac{\int_{-1}^{1} x^3 \trm{d}x}{\int_{-1}^{1} 1\trm{d}x} - \frac{\int_{-1}^{1} x^4 \trm{d}x}{\int_{-1}^{1} x^2 \trm{d}x}x - \frac{\int_{-1}^{1} x^3(x^2-\frac{1}{3}) \trm{d}x}{\int_{-1}^{1} (x^2-\frac{1}{3})^2 \trm{d}x}(x^2-\frac{1}{3}) = x^3 - \frac{3}{5}x
\end{align*}

我们希望得到的正交基底的性质尽可能模仿\(\{x^n\}_{n=0}^{\infty}\)的性质，后者简单列举两条
\begin{itemize}
    \item [\(\bullet\)] \((\lambda x.x^n)(1) = 1\)
    \item [\(\bullet\)] 在区间\([-1,1]\)上，\(\langle x^n,x^n \rangle = \dfrac{2}{2n+1}\)
\end{itemize}

\section{椭圆函数系}

\section{超几何函数系}

超几何函数最初由高斯定义，在勒奇超越函数的基础上更推进一步. 最终得到的推广的超几何函数是一个包容性非常强的函数，以上提到的大部分特殊函数，包括勒奇超越函数系、贝塞尔函数系和椭圆函数系都是它的特殊情况，因此超几何函数可以非常深刻地揭示以上众多特殊函数的共性.

\begin{definition}{超几何函数}
    上升阶乘(rising factorial)或伯赫哈默尔符号(Pochhammer symbol)：
    \[n^{(m)} = \left\{\begin{aligned} &1 & m=0 \\ & \prod_{k=m}^{n+m-1}k = n(n+1)\cdots(n+m-1) & m > 0 \end{aligned}\right.\]
    合流超几何函数(confluent hypergeometric function)或库莫函数(Kummer function)
    \[M(a,b,z) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{a^{(n)}}{b^{(n)}}\frac{z^n}{n!}\]
    超几何函数(hypergeometric function)
    \[_2F_1(a,b;c;z) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{a^{(n)}b^{(n)}}{c^{(n)}}\frac{z^n}{n!}\]
    推广的超几何函数(generalized hypergeometric function)
    \[_pF_q(a_1, a_2, \cdots, a_p; b_1, b_2, \cdots, b_q;z) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_1^{(n)}a_2^{(n)}\cdots a_p^{(n)}}{b_1^{(n)}b_2^{(n)}\cdots b_q^{(n)}}\frac{z^n}{n!}\]
\end{definition}

\end{document}
